2학년의 꿈

1. 개요2. 상세

1. 개요 [편집]

2학년의 꿈(sophomore's dream)은 다음 두 등식[1]을 가리킨다.

$\displaystyle \int^{1}_{0} x^x\,{\mathrm{d}}x = \lim_{b \rightarrow 0^+} \left(\int^{1}_{b} x^x\,\mathrm{d}x \right) = - \sum_{n=1}^{\infty} \frac1{(-n)^n} \approx 0.7834305107 \cdots$
$\displaystyle \int^{1}_{0} \frac1{x^x}\,\mathrm{d}x = \lim_{b \rightarrow 0^+} \left(\int^{1}_{b} \frac1{x^x} \,\mathrm{d}x\right) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac1{n^n} \approx 1.291285997 \cdots$

틀린 항등식

(x+y)^n = x^n + y^n

을 1학년의 꿈이라고 부르는 것처럼, 적분 기호를 무한합 기호로 순진하게 바꿔놓고 그래도 된다고 우기는 해맑은 2학년의 꿈이라고 하는 것이다. 그러나 다행히도 1학년의 꿈이 틀린 것과는 달리 이 2학년의 꿈은 옳다. 자세한 증명은 해당 링크 참조.

[1] 발견자는 로피탈의 정리를 발견한 요한 베르누이(1667~1748)로, 베르누이 미분방정식을 발견한 야코프 베르누이(1654~1705)나 베르누이 정리를 발견한 다니엘 베르누이(1700~1782)와는 집안만 같을 뿐 다른 사람이다.